Пару сил в механике рассматривают как одно из основных понятий, наряду с понятием силы.

Пара сил – система двух параллельных, противоположно направленных и равных по модулю сил, не лежащих на одной прямой.

Плоскость действия пары сил – плоскость, в которой находятся линии действия сил.

Плечо пары сил – кратчайшее расстояние (длина перпендикуляра) между линиями действия сил, составляющих пару сил.

На рис. 1.34 изображена пара сил, плоскость действия которой лежит в плоскости OXY системы отсчёта OXY.

Силы F 1 , F 2 образуют пару сил. F 1 = F 2 ; F 1 = – F 2 . Однако силы пары не уравновешиваются, так как они направлены не по одной прямой. Пара сил стремится произвести вращение тела, к которому она приложена. Действие пары сил на тело характеризуется её моментом.

Для количественной характеристики действия пары сил на тело и указания направления, в котором пара сил стремится вращать тело, вводится понятие алгебраического момента пары сил .

Алгебраический момент пары сил – величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил на её плечо.

M = ± F 1 ·h = ± F 2 ·h.

Алгебраический момент пары сил считают положительным, если пара сил стремится повернуть тело против вращения часовой стрелки, и отрицательным, если в сторону вращения часовой стрелки. В системе СИ момент пары сил измеряется в Н·м.

На рис. 1. 35 изображена пара сил (F 1 , F 2), линии действия которых лежат в плоскости OXY.

Момент пары сил – векторная мера механического действия пары сил, равная моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы.

Момент пары сил изображается вектором М . Вектор момента М пары сил (F 1 , F 2) направлен перпендикулярно к плоскости действия пары сил в сторону, откуда видно пару сил, стремящуюся вращать плоскость её действия в сторону, противоположную вращению часовой стрелки. Согласно определению (см. рис. 1.35), M ^ j , M ^ i , M = F 1 ×h = F 2 ·h. Таким образом, пара сил полностью характеризуется её моментом M .

Теорема . Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их алгебраические моменты численно равны и одинаковы по знаку.

Доказательство этой теоремы несложно и здесь оно не приводится.

Следствия из теоремы:

1.Пару сил, не изменяя её действия на тело, можно как угодно поворачивать и переносить в любое место плоскости её действия.

2.У пары сил можно изменять плечо и модуль силы, сохраняя при этом алгебраический момент пары и плоскость действия.

Суть теоремы и её следствий иллюстрируется рис. 1.36, на котором приведены пары сил с эквивалентными алгебраическими и векторными моментами. Плоскости действия пар сил совпадают с плоскостью YOZ.

Теорема . Пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны.

Доказательство этой теоремы также достаточно просто и здесь не приведено.

Из теорем о парах сил следует вывод: не изменяя действия пары сил на тело, пару сил можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости её действия, а также изменять её силу и плечо, сохраняя неизменными модуль и направление её момента.

Таким образом, вектор момента пары сил можно переносить в любую точку, то есть момент пары сил является свободным вектором .

Вектор момента пары сил определяет три элемента: положение плоскости действия пары; направление вращения; числовое значение (модуль) момента.

Отметим аналогию: если точку приложения вектора силы можно помещать где угодно на линии действия этой силы (скользящий вектор ), то векторный момент пары сил можно приложить в любой точке тела (свободный вектор ).

Момент силы. Пара сил.

1. Основные понятия и определения статики.

Материальные объекты в статике:

материальная точка,

система материальных точек,

абсолютно твердое тело.

Системой материальных точек, или механической системой, называется такая совокупность материальных точек, в которой положение и движение каждой точки зависит от положения и движения других точек этой системы.

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между двумя точками которого не изменяется.

Твердое тело может находиться в состоянии покоя или движения определенного характера. Каждое их этих состояний будем называть кинематическим состоянием тела .

	Сила - мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия. Сила может быть приложена в точке, тогда эта сила – сосредоточенная . Сила может действовать на все точки данного объема или поверхности тела, тогда эта сила – распределенная .
	Система сил - с овокупность сил, действующих на данное тело.
	Равнодействующей называется сила, эквивалентная некоторой системе сил.
	Уравновешивающей силой называется сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону.
	Системой взаимно уравновешивающихся сил называется система сил, которая будучи приложенной к твердому телу, находящемуся в покое, не выводит его из этого состояния.

Внутренние силы – это силы, которые действуют между точками или телами данной системы.

Внешние силы – это силы, которые действуют со стороны точек или тел, не входящих в данную систему.

Задачи статики:

- преобразование систем сил, действующих на твердое тело в эквивалентные им системы;

- исследование условий равновесия тел под действием приложенных к ним сил.

1. Аксиомы статики.

		3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил . Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно-уравновешивающихся сил. Следствие . Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменным ее модуль и направление. С ила - скользящий вектор.
	4. Аксиома параллелограмма сил . Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.

5. Аксиома равенства действия и противодействия . Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

2. Связи и их реакции

Твердое тело называется свободным , если оно может перемещаться в пространстве в любом направлении.

Тело, ограничивающее свободу движения данного твердого тела, является по отношению к нему связью .

Твердое тело, свобода движения которого ограничено связями, называется несвободным .

Все силы, действующие на несвободное твердое тело, можно разделить на:

• задаваемые (активные)
• реакции связей

Задаваемая сила выражает действие на данное тело других тел, способных вызвать изменение его кинематического состояния.

Реакция связи – это сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям.

Принцип освобождаемости твердых тел от связей - несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, на которое кроме задаваемых сил, действуют реакции связей.

Как определить направление реакции?

Если существует два взаимно перпендикулярных направления на плоскости, в одном из которых связь препятствует перемещению тела, а в другом нет, то направление ее реакции противоположно первому направлению.

В общем случае направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

	Неподвижный шарнир Подвижный

3. Момент силы относительно центра

Моментом силы F относительно некоторого неподвижного центра О называется вектор, расположенный перпендикулярно к плоскости, проходящей через вектор силы и центр О, направленный в ту сторону, чтобы смотря с его конца можно было видеть поворот силы F относительно центра О против часовой стрелки.

Свойства момента силы относительно центра:

	1) Модуль момента силы относительно центра может быть выражен удвоенной площадью треугольника ОАВ (1.1) 2) Момент силы относительно центра равен нулю в том случае, если линия действия силы проходит через эту точку, то есть h = 0 .
	3) Если из точки О в точку приложения силы А провести радиус вектор, то вектор момента силы можно выразить векторным произведением (1.2)
	4) При переносе силы по линии ее действия вектор ее момента относительно данной точки не изменяется.

Если к твердому телу приложено несколько сил, лежащих в одной плоскости, можно вычислить алгебраическую сумму моментов этих сил относительно любой точки этой плоскости

Момент М О , равный алгебраической сумме моментов данной системы относительно какой-либо точки в той же плоскости, называют главным моментом системы сил относительно этой точки.

3. Момент силы относительно оси

Чтобы определить момент силы относительно оси необходимо:

1) провести плоскость, перпендикулярную к оси Z;

2) определить точку О пересечения оси с плоскостью;

3) спроецировать ортогонально силу F на эту плоскость;

4) найти момент проекции силы F относительно точки О пересечения оси с плоскостью.

Правило знаков:

Момент силы относительно оси считается положительным , если, смотря навстречу оси Z, можно видеть проекцию , стремящейся вращать плоскость I вокруг оси Z в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

Свойства момента силы относительно оси 1) Момент силы относительно оси изображается отрезком, отложенным по оси Zот точки О в положительном направлении, если > 0 и в отрицательном направлении, если < 0. 2) Значение момента силы относительно оси может быть выражено удвоенной площадью Δ (1.5) 3) Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях: если F 1 = 0 , то есть линия действия силы параллельна оси; eсли h 1 = 0 , то есть линия действия силы пересекают ось.

4. Пара сил. Векторный и алгебраический момент пары сил

Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил и , называется парой сил.

Плоскость, в которой находятся линии действия сил и , называется плоскостью действия пары сил.

Кратчайшее расстояние h между линиями действия сил, составляющих пару, называется плечом пары сил .

Момент пары сил определяется произведением модуля одной из сил пары на плечо.

Правило знаков

Вектор момента М пары и направляют перпендикулярно к плоскости действия пары сил в такую сторону, что бы смотря навстречу этому вектору, видеть пару сил стремящейся вращать плоскость ее действия в сторону, обратную вращению часовой стрелки.

1. 4. Свойства пар сил на плоскости

Свойство 1 . Вектор-момент M пары по модулю и направлению равен векторному произведению радиуса вектора АВ на ту из сил этой пары, к началу которой направлен радиус-вектор АВ , то есть

(1.7)

Свойство 2 . Главный момент сил, составляющих пару относительно произвольной точки на плоскости действия пары, не зависит от положения этой точки и равняется моменту этой пары сил.

5. Условия эквивалентности пар сил

Теорема об условии эквивалентности пар сил,

лежащих в одной плоскости.

Система двух равных и параллельных сил , направлен­ных в противоположные стороны и не лежащих на одной прямой , называется парой сил . Примером такой системы сил могут служить усилия, передаваемые от рук шофера на рулевое колесо автомобиля.

Пара сил имеет очень большое значение в практике. Именно поэтому свойства пары как специфической меры механического взаимодействия тел изучается отдельно .

Сумма сил пары равна нулю

Р - Р" = 0 (рис. а ),

т. е. пара сил не имеет равнодействующей . Несмотря на это тело под действием пары сил не находится в равновесии.

Действие пары сил на твердое тело, как показывает опыт, состоит в том, что она стремится вращать это тело.

Способность пары сил производить вращение количественно определяется моментом пары , равным произведе­нию силы на кратчайшее расстояние (взятое по перпен­дикуляру к силам) между линиями действия сил .

Обозначим момент пары М , а кратчайшее расстояние между силами а , тогда абсолютная величина момента (рис. а )

М = Ра = Р"а .

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называется плечом пары, поэтому можно сказать, что момент пары сил по абсолютной величине равен произве­дению одной из сил пары на ее плечо.

Эффект действия пары сил полностью определяется ее моментом . Поэтому пару сил можно изображать дугооб­разной стрелкой , указывающей направление вращения (см.рис.).

Так как пара сил не имеет равнодействующей, ее нельзя уравновесить одной силой .

В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах , а плечо в метрах . Соответственно момент пары в системе СИ измеряется в ньютонометрах (н·м) или в единицах, кратных ньютонометру: кн·м, Мн·м и т. д.

Будем считать момент пары сил положительным , если пара стремится повернуть тело по направлению хода часовой стрелки (рис. а ) и отрицательным , если пара стремится вращать тело против хода часовой стрелки (рис. б ).

Принятое правило знаков для моментов пар условно ; можно было бы принять противоположное пра­вило. При решении задач во избежание путаницы всегда нужно принимать одно определенное правило знаков .

1. Пара сил - система двух сил, приложенных к телу в двух разных точках:

Равных по модулю

Параллельных

Противоположно направленных

2. Плечо пары сил – кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.

Момент пары сил

Момент пары сил - произведение модуля любой силы на плечо пары (модуль силы х плечо)

Свойства пары сил

1. Сумма проекций на любую ось сил пары равна нулю

F 2 cosα – F 1 cosα = 0

2. Сумма моментов сил пары относительно любой точки плоскости равна моменту пары.

mom o () = - F 1 d = - Fd

mom o () = + F 2 l = +Fl

mom o () + mom o () = - Fd + Fl = - F(d-l) = - Fh

Следовательно, пару сил нельзя заменить равнодействующей.

Самостоятельная работа обучающегося по теме 1.3. (1 час – все )

1. Составить глоссарий основных понятий по теме «Пара сил» - арх, ‘эзс – 1 час

1. Решение задач на определение моментов сил относительно точки: авто – 1час

Тема 1.4. Плоская система произвольно расположенных сил

– (4 час арх, 2час авто, эзс)

Основные понятия

1. Плоская система сил – система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.

2. На плоскости могут быть приложены силы:

А) произвольно расположенные;

Б) пары сил;

В) силы, сходящиеся в одной точке.

3. Плоская система произвольно расположенных сил – все силы или линии их действия не пересекаются в одной точке.

Приведение плоской системы сил к заданному центру

1.Пусть на твёрдое тело действует система сил

2. Приложим в точке Опо 2 уравновешенные силы :

А) одна равна и параллельна заданной:

Б) другая сила равна заданной, но противоположно направлена

3. В итоге на тело действует:

А) система сходящихся сил

Б) система пар сил с моментами

4. Систему сходящихся сил заменяем равнодействующей

Или в соответствии с тем, что и т.д.

5. В соответствии со вторым свойством пары сил найдём алгебраическую сумму моментов всех пар

М о =m 1 +m 2 + …+m n

Лемма Пуансо

1. В результате произвольную плоскую систему сил можно заменить :

- одной силой , равной геометрической сумме всех сил, приложенных в произвольно выбранном центре и

- моментом , равным алгебраической сумме моментов присоединенных пар

2. Принятые определения:

А) точка о – центр приведения

Б) главный вектор – векторR, равный геометрической сумме всех сил. Его значение не зависит от выбора центра приведения.

В) главный момент – момент М О, равный алгебраической сумме моментов присоединённых пар. Его значение зависит от выбора центра приведения (величина плеча будет меняться).

Частные случаи приведения

1.R 0 =0,M 0 ≠0 – система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения;

2. R 0 ≠0,M 0 =0 – система эквивалентна равнодействующей R. Главный вектор в данном случае – является равнодействующей.

3. R 0 ≠0,M 0 ≠0 – система эквивалентна равнодействующей R, приложенной в новом центре приведения, расположенном от прежнего на расстоянии d = М о \R

4. R=0,M 0 =0 – плоская система сил находится в равновесии;

Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей плоской системы сил)

Момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольного центра О равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно этого центра.

Аналитические уравнения равновесия плоской системы сил

Условие равновесия выражается тремя уравнениями – основные уравнения равновесия :

2. Варианты записи уравнений равновесия – в зависимости от расположения сил

Класссификация нагрузок

Сосредоточенная

Распределённая: по линии, по поверхности, по объёму

Изгибающий момент

Балочные системы

1. Объект решения задач статики – балки (или балочные системы)

2. Балка – деталь в виде прямого бруса с опорами в двух (или более) точках.

Виды опор

1. Шарнирно-подвижная : вращение вокруг своей оси (шарнир) + поступательное перемещение (подвижная)

2. Шарнирно-неподвижная : вращение вокруг своей оси (шарнир)

3. Жёсткая заделка (защемление ): препятствует любому перемещению.

Решение задач на определение опорных реакций

С помощью трёх уравнений равновесия определяют реакции опор (если число реакций связи не превышает трёх):

1. Показать нагрузки

2. Обозначают нагрузки

3. Освобождаются от опор и заменяют их действие на балку реакциями

4. Составляют уравнение равновесия

5. Решают уравнения равновесия и определяют из них опорные реакции

6. Проверка решения

Определение усилий в стержнях плоских ферм – вырезанием узлов

1. Аналитический способ

2. Графический способ – построением диаграммы Максвелла – Кремоны

Элементы теории трения

ТЕМА 1.5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ (авто - 1 час)

Самостоятельная работа обучающегося (авто – 1час)

1. Решение задач по индивидуальным заданиям

1. Понятие о трении

Сила трения возникает при соприкосновении тел и препятствует передвижению одного тела по поверхности другого.

2. Виды сил трения:

А) трение скольжения

Б) трение скольжения

3. Трение скольжения – сопротивление, возникающее при относительном перемещении одного тела по поверхности другого.

4. Законы трения :

А) Сила трения F тр направлена в сторону, противоположную относительной скорости скольжения

Б) Сила трения не зависит от площади контактирующих поверхностей

В) Модуль силы трения пропорционален нормальному давлению (чем больше нормальное давление, тем больше сила трения).

5. По рисунку:

А) сила тяжести mg– вниз (чем большеmg, тем больше опорная реакцияN(вектор)

Б) тело движется вниз = сила трения направлена вверх по наклонной плоскости

В) гладкая поверхность = опорная реакция N(вектор) направлена перпендикулярна плоскости

Г) по аксиоме 3 строим диагональ параллелограмма R(равнодействующая)

6. Виды сил трения скольжения :

А) сила трения при покое F тр f o N

Б) сила трения при движении F тр fN

N– сила нормального давления

f o – коэффициент трения покоя

f– коэффициент трения скольжения – зависит от скорости скольжения тел.

Оба коэффициента зависят от материала и физического состояния поверхностей

7. Трение качения – сопротивление, возникающее при качении одного тела к другому.

8. Виды связей :

А) идеальные (без трения)

Б) реальные (с трением)

Самостоятельная работа обучающихся – 3час эзс, 4час арх,

1. Решить задачи по определению опорных реакций для однопролётной балки по вариантам

2. Решить задачи на определение усилий в стержнях фермы по вариантам

3. Сравнить способы определения усилий, сделать краткий анализ о преимуществах и недостатках каждого метода - результат оформить в виде таблицы

Авто – 2час

1. Выполнение расчётно­-графической работы на определение опорных реакций балочных систем

Парой сил (или просто парой) называется совокупность двух параллельных сил, равных по модулю, противоположных по направлению и приложенных в разных точках тела (рис. 30). Пару сил будем обозначать символом . Силы называются силами пары; плоскость, в которой лежат силы, называется плоскостью действия пары.

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары (длина h отрезка АВ на рис.

30). Так как силы можно перемещать вдоль их линий действия, в дальнейшем силы пары будем изображать приложенными к концам плеча пары.

Будем также пользоваться более простым обозначением пары в виде , не содержащем обозначений точек приложения сил.

Пара сил характеризует особый вид взаимодействия тел, который нельзя выразить одной силой. Поэтому в статике, наряду с силами, рассматриваются отдельно также пары сил с их специфическими свойствами, правилами сложения и условиями равновесия.

Изначально пара сил задается четырьмя векторами (рис. 31.)-двумя векторами сил пары и двумя радиусами-векторами их точек приложения. Возьмем какую-либо точку пространства в качестве центра моментов О и вычислим моменты сил пары относительно этого центра

Тогда предыдущее утверждение можно выразить и в такой форме: пара сил может быть задана векторами сил пары и моментами этих сил относительно произвольного центра О. Теперь зададимся вопросом: нельзя ли пару сил задавать по-другому, желательно меньшим числом определяющих элементов?

Геометрическая сумма векторов сил пары всегда равна нулю, поэтому она не может использоваться для характеристики пары. Вычислим сумму моментов сил пары относительно точки О:

В полученном результате обращают на себя внимание два обстоятельства.

1. В то время как сумма векторов сил пары всегда равна нулю, сумма моментов сил пары отлична от нуля.

2. Сумма моментов сил пары не зависит от выбора центра моментов- векторы зависящие от выбора точки О, выпали из окончательного выражения для искомой суммы.

Таким образом, сумма моментов сил пары оказывается зависящей только от элементов самой пары - плоскости действия пары, модуля сил и плеча пары. Это наводит на мысль использовать эту величину в качестве характеристики пары сил. В дальнейшем сумму моментов сил пары будем называть моментом этой пары. Поскольку момент пары не зависит от выбора центра моментов, то он является свободным вектором - его можно прикладывать в любой точке твердого тела, на которое действует данная пара сил.

Итак, на вопрос о том, можно ли задавать пару сил более простым способом, получен утвердительный ответ: пару сил можно характеризовать, задавая лишь один вектор - момент пары. Моментом пары сил называется свободный вектор , равный геометрической сумме моментов сил пары относительно произвольно выбранной точки О пространства

Здесь следует заметить, что приведенные рассуждения имеют скорее наводящий характер и не являются строгим доказательством только что сформулированного вывода. Однако в статике имеется ряд теорем, в которыхсделанный вывод получает строгое обоснование. С этими теоремами можно познакомиться по полным учебникам по теоретической механике.

Воспользовавшись произволом в выборе точки О в определении момента пары, можно прийти к более простому способу вычисления момента. Примем в качестве центра моментов точку приложения силы -F (точку В на рис. 31). Тогда можно написать

Здесь учтено, что так как сила -F проходит через точку В. Если за центр моментов принять точку А, в которой приложена сила F, то в нуль обращается момент силы F, и мы получаем

Это приводит к еще одному правилу для вычисления момента пары: момент пары сил равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы.

Тем самым определение момента пары сводится к вычислению и построению момента силы относительно точки, подобно рассмотренному ранее (см. стр. 12).

В итоге приходим к следующему выводу: момент пары сил есть вектор, численно равный произведению модуля сил пары на плечо пары и направленный перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, из которой "вращение" пары видно происходящим против движения часовой стрелки (правило буравчика); в качестве точки приложения момента пары может быть взята любая точка тела.

Алгебраическим моментом пары называется произведение модуля сил пары на плечо пары, взятое со знаком плюс, если пара "вращает" свою плоскость против движения часовой стрелки, и со знаком минус, если наоборот.

На рис. 32 изображена пара сил , действующая в плоскости диска радиуса R, установленного перпендикулярно к оси вращения. Плечо пары равно диаметру диска, модуль момента пары равен

Момент пары направлен перпендикулярно плоскости диска и может быть приложен в любой точке диска.

На рис. 33 показан аналогичный случай, но изображенный в плоской проекции. Здесь силы пары () направлены перпендикулярно плоскости чертежа (знаком изображаются векторы, направленные , знаком - от читателя). Момент пары по модулю равен , перпендикулярен плоскости диска и лежит в плоскости чертежа (точнее, может быть перенесен параллельно себе в плоскость чертежа).

Еще два примера построения момента пары содержатся на рис. 34. Модули моментов изображенных пар имеют значения:

Векторы-моменты пар имеют проекции:

Свойства пары сил

1. Можно изменять величину сил и плечо пары, оставляя без изменения величину момента и направление "вращения" сил пары.

2. Пару сил можно как угодно перемещать в своей плоскости действия.

3. Пару сил можно перемещать параллельно себе в любую плоскость, неизменно связанную с телом, к которому она приложена.

Перечисленные в этих свойствах действия не изменяют ни величину, ни направление момента пары, поэтому являются эквивалентными преобразованиями пары.

В приведенных выше примерах речь шла о построении момента по заданным элементам пары - плоскости действия, силам и плечу пары. Можно ставить и обратную задачу - построить пару сил по ее моменту. Пусть требуется построить пару сил по ее моменту М (рис. 35, а). Для этого строим плоскость П, перпендикулярную линии действия момента (рис. 35, б). Эта плоскость будет служить плоскостью действия пары. В этой плоскости располагаем две силы