Метод сечений и его применение. Метод сечения. Внутренние силы. Метод сечений

Силы, как известно, бывают внешние и внутренние . Если взять в руки обычную ученическую линейку и изогнуть ее, то делаем мы это, прикладывая внешние силы – руки. Если усилие рук убрать, то линейка вернется в исходное положение самостоятельно, под воздействием своих внутренних сил (это силы взаимодействия между частицами элемента от воздействия внешних сил). Чем больше внешние силы, тем больше и внутренние, но внутренние не могут постоянно увеличиваться, они растут лишь до определенного предела, и когда внешние силы превысят внутренние, произойдет разрушение . Поэтому крайне важно знать о внутренних силах в материале с точки зрения его прочности. Внутренние силы определяются с помощью метода сечений . Рассмотрим его подробно. Допустим, стержень нагружен некоторыми силами (верхний левый рис.). Разрезаем стержень сечением 1–1 на две части, и будем рассматривать любую из них – ту, которая покажется нам проще. К примеру, отбрасываем правую часть и рассмотрим равновесие левой части (верхний правый рис.).

Действие отброшенной правой части на оставшуюся левую заменяем внутренними силами, их бесконечно много, так как это силы взаимодействия между частицами тела. Из теоретической механики известно, что любую систему сил можно заменить эквивалентной ей системой, состоящей из главного вектора и главного момента. Поэтому все внутренние силы приведем к главному вектору R и главному моменту М (рис.1.1,б). Поскольку наше пространство трехмерно, то главный вектор R можно разложить по осям координат и получить три силы — Q x , Q y , N z (рис.1.1,в). По отношению к продольной оси стержня силы Q x , Q y называются поперечными или перерезывающими силами (расположены поперек оси), N z получил название продольной силы (расположена вдоль оси).

Главный момент М при разложении по осям координат также даст три момента(рис.1.1,г) в соответствии с той же продольной осью — два изгибающих момента M x и M y и крутящий момент Т (может обозначаться как М к или М z).

Таким образом, в общем случае нагружения существует шесть компонентов внутренних сил , которые называются внутренними силовыми факторами или внутренними силами. Для их определения в случае пространственной системы сил составляются шесть уравнений равновесия , а в случае плоской – три.

Чтобы запомнить последовательность метода сечений, следует использовать мнемотехнический прием – запомнить слово РОЗУ из первых букв действий: Р азрезаем (сечением), О тбрасываем (одну из частей), З аменяем (действие отброшенной части внутренними силами), У равновешиваем (т.е. с помощью уравнений равновесия определяем значение внутренних сил).

В практике возникают следующие виды деформаций. Если при случае нагружения в элементе под действием сил возникает один внутренний силовой фактор, то такая деформация называется простой или основной. Простые деформации - это растяжение-сжатие (возникает продольная сила), сдвиг (поперечная сила), изгиб (изгибающий момент), кручение (крутящий момент). Если одновременно элемент испытывает несколько деформаций (кручение с изгибом, изгиб с растяжением и др.), то такая деформация называется сложной .

Внутренние силы возникают между отдельными элементами сооружения и между отдельными частями элемента под действием внешних сил. Определение внутренних сил производят методом сечений. Сущность его заключается в том, что тело, находящееся в равновесии (рис.2.1,а ), рассекают мысленно на две части (рис.2.1,б ), отбрасывают одну из частей, заменяя влияние отброшенной части внутренними силами, и составляют уравнения равновесия для оставшейся части, на которую действуют приложенные к ней внешние силы и подлежащие определению внутренние силы, распределенные по сечению.

Обычно плоскость сечения проводится перпендикулярно касательной к оси бруса. Систему внутренних сил можно привести к одной силе R и к одной паре М .Выберем в качестве центра приведения сил центр тяжести сечения 0 и

направим ось Оx правой прямоугольной системы координат перпендикулярно сечению в сторону внешней нормали. Разложим векторы R и M на составляющие (рис. 2.1,в ). Силу N , направленную по касательной к оси стержня, называют продольной силой. Силы Q y и Q z , направленные по нормали к оси стержня, называют поперечными силами. Момент Т относительно оси х называют крутящим. Моменты М y и M z носят название изгибающих. Эти шесть внутренних усилий могут быть найдены из шести уравнений равновесия тела в пространстве, составленных для рассматриваемой части бруса. Уравнения составляются применительно к недеформированному телу, если наблюдаются малые изменения его размеров и формы. Принятие такого допущения значительно упрощает задачу, уравнения становятся линейными, что позволяет пользоваться принципом независимости действия сил (принципом наложения). Последний гласит, что результат совместного воздействия на тело системы сил равен сумме частных результатов воздействия каждой силы в отдельности.

Каждому из внутренних усилий соответствует свой вид деформирования тела: N − растяжение (сжатие), Q y и Q z − сдвиг, Т − кручение, М у и М z − изгиб. Эти деформации, как правило, возникают в различных сочетаниях. Продольная сила считается положительной, если ее направление совпадает с направлением внешней нормали к сечению. Крутящий момент принимается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса со стороны его внешней нормали он представляется направленным по ходу часовой стрелки. Изгибающий момент считается положительным, когда на левом торцe правой части бруса он направлен по ходу часовой стрелки, а на правом торце левой части − против хода часовой стрелки. Поперечная сила положительна, если она стремится вращать отсеченную часть бруса (на которую она действует) по ходу часовой стрелки относительно любой точки на внутренней нормали к сечению. Положительные знаки усилий показаны на рис.2.2.

При определении знаков внутренних усилий в вертикальных брусьях необходимо какой-то конец бруса (нижний или верхний) принимать в качестве левого и отмечать его на чертеже каким-либо значком.

Взаимодействие между частями конструкции (тела) характе­ризуется внутренними силами, которые возникают внутри нее под действием внешних нагрузок.

Определяются внутренние силы с помощью метода сечений . Суть метода сечения в следующем: если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также будет находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия. То есть, не влияют на условия равновесия тела, так как являются самоуравновешенными.

Рассмотрим тело, к которому приложена некоторая система внешних сил F 1 , F 2 , …, F n , удовлетворяющая условиям равновесия, т.е. при действии указанных внешних сил тело находится в состоянии равновесия. Если необходимо, то определяются опорные реакции из уравнений равновесия (берем объект, отбрасываем связи, заменяем отброшенные связи реакциями, составляем уравнения равновесия и ). Реакции можно не находить, если они не входят в число внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемых сечений.

Мысленно рассекаем тело произвольным сечением, отбрасываем левую часть тела и рассматриваем равновесие оставшейся части.

Если бы не было внутренних сил, оставшаяся неуравновешенная часть тела начала бы двигаться под действием внешних сил. Для сохранения равновесия, действие отброшенной части тела заменяем внутренними силами приложенными к каждой частице тела.

Из теоретической механики известно, что любая система сил может быть приведена в любую точку пространства в виде главного вектора сил \vec{R} и главного момента сил \vec{M} (теорема Пуансо). Модуль и направление этих векторов неизвестны.

Удобнее всего определять эти вектора через их проекции на оси x,y,z. $$\vec{R} = \vec{N} + \vec{Q_x}+\vec{Q_y}, \ \ \vec{M} = \vec{M_k} + \vec{M_x}+\vec{M_y} $$ или

Проекции векторов \vec{R} и \vec{M} носят следующие названия:

• N - продольное усилие,
• Q x и Q y - поперечные (перерезывающие) силы соответственно вдоль осей x и y,
• M k - крутящий момент (обозначается иногда буквой T),
• M x , M y - изгибающие моменты соответственно вокруг осей x и y

В общем случае для определения внутренних усилий имеем 6 неизвестных, которые можно определить из 6 уравнений равновесия.

где \sum F_i, \sum M(F)_i – внешние силы и моменты, действующие на оставленную часть тела.

Решив систему из 6-и уравнений с 6-ю неизвестными, определяем все внутренние усилия. В сечении могут присутствовать не все шесть внутренних
силовых факторов одновременно – это зависит от вида внешней нагрузки и способа ее приложения.

Пример: для стержня

Общее правило определения любого внутреннего усилия:

Усилия Q x , Q y , N равняются алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от выбранного сечения, соответственно на оси x, y или z .

Моменты M x , M y , M k равняются алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от выбранного сечения, соответственно относительно осей x, y или z, проходящих через центр тяжести выбранного сечения.

При использовании приведенного правила необходимо принять правило знаков для внутренних усилий.

Правило знаков

• Нормальная растягивающая сила (направлена от сечения) считается положительной, а сжимающая – отрицательной.
• Крутящий момент в сечении, направленный против часовой стрелки, считается положительным, по часовой стрелке – отрицательным.
• Положительному изгибающему моменту соответствуют сжатые волокна сверху, отрицательному – снизу.
• Знак поперечной силы удобно определять по тому, в каком направлении пытается повернуть отсеченную часть балки результирующая поперечной нагрузки относительно рассматриваемого сечения: если по часовой стрелке - сила считается положительной, против часовой стрелки - отрицательной.

1 График изменения внутреннего усилия по заданной оси тела называется эпюрой.

Для расчетов деталей машин и сооружений на прочность необходимо знать внутренние силы упругости, возникающие в результате действия приложенных к деталям внешних сил.

В теоретической механике мы познакомились с понятием метода сечений. Этот метод широко применяется в сопротивлении материалов для определения внутренних сил, поэтому рассмотрим его подробно. Напомним, что всякое тело, в том числе деталь машины или сооружения, можно полагать системой материальных точек.

В теоретической механике имеют дело с неизменяемыми системами; в сопротивлении материалов рассматриваются изменяемые (деформируемые) системы материальных точек.

Метод сечений заключается в том, что тело мысленно рассекается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается, а взамен нее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие до разреза. Оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил.

Очевидно, что, согласно третьему закону Ньютона (аксиома взаимодействия), внутренние силы, действующие в сечении оставшейся и отброшенной частей тела, равны по модулю, но противоположны по направлению. Поэтому, рассматривая равновесие любой из двух частей рассеченного тела, мы получим одно и то же значение внутренних сил, однако выгоднее рассматривать ту часть тела, для которой уравнения равновесия проще.

В соответствии с принятым допущением о непрерывности материала тела мы можем утверждать, что внутренние силы, возникающие в теле, представляют собой силы, равномерно или неравномерно распределенные по сечению.

Применяя к оставленной части тела условия равновесия, мы не сможем найти закон распределения внутренних сил по сечению, но сможем определить статические эквиваленты этих сил.

Так как основным расчетным объектом в сопротивлении материалов является брус и чаще всего нас будут интересовать внутренние силы в его поперечном сечении, то рассмотрим, каковы будут статические эквиваленты внутренних сил в поперечном сечении бруса.

Рассечем брус (рис. 1.3) поперечным сечением а - а и рассмотрим равновесие его левой части.

Рис. 1.3

Если внешние силы, действующие на брус, лежат в одной плоскости, то в общем случае статическим эквивалентом внутренних сил, действующих в сечении а - а, будут главный вектор F m , приложенный в центре тяжести сечения, и главный момент М ТЛ - М И, уравновешивающие плоскую систему внешних сил, приложенных к оставленной части бруса.

Разложим главный вектор на составляющую N, направленную вдоль оси бруса, и составляющую Q, перпендикулярную этой оси, то есть лежащую в плоскости поперечного сечения. Эти составляющие главного вектора вместе с главным моментом назовем внутренними силовыми факторами, действующими в сечении бруса. Составляющую N назовем продольной силой , составляющую Q - поперечной силой , а пару сил с моментом М к - изгибающим моментом.

Для определения указанных трех внутренних силовых факторов статика дает три уравнения равновесия оставленной части бруса, а именно:

(ось z всегда направляем по оси бруса).

Если внешние силы, действующие на брус, не лежат в одной плоскости, то есть представляют собой пространственную систему сил, то в общем случае в поперечном сечении бруса возникают шесть внутренних силовых факторов (рис. 1.4), для определения которых статика дает шесть уравнений равновесия оставленной части бруса, а именно:

Рис. 1.4

Шесть внутренних силовых факторов, возникающих в поперечном сечении бруса в самом общем случае, носят следующие названия: N - продольная сила, Q x , Q y - поперечные силы, М к - крутящий момент, М ш, М иу - изгибающие моменты.

При разных деформациях в поперечном сечении бруса возникают различные внутренние силовые факторы. Рассмотрим частные случаи.

• 1. В сечении возникает только продольная сила N. В таком случае это деформация растяжения (если сила N направлена от сечения) или деформация сжатия (если сила N направлена к сечению).
• 2. В сечении возникает только поперечная сила Q. В таком случае это деформация сдвига.
• 3. В сечении возникает только крутящий момент М к. В таком случае это деформация кручения.
• 4. В сечении возникает только изгибающий момент М н. В таком случае это деформация чистого изгиба. Если в сечении одновременно возникает изгибающий момент М н и поперечная сила Q, то изгиб называют поперечным.
• 5. В сечении одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов (например, изгибающий и крутящий моменты или изгибаюший момент и продольная сила). В этих случаях имеет место сочетание основных деформаций.

Наряду с понятием деформации одним из основных понятий сопротивления материалов является напряжение. Напряжение характеризует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении.

Рассмотрим какой-либо произвольно нагруженный брус и применим к нему метод сечений (рис. 1.5). Выделим в сечении бесконечно малый элемент площади dA (что мы имеем право делать, так как считаем материал непрерывным). Ввиду малости этого элемента можно считать, что в его пределах внутренние силы, приложенные в различных точках, одинаковы по модулю и направлению и, следовательно, представляют собой систему параллельных сил. Равнодействующую этой системы обозначим dF. Разделив dF на площадь элементарной площадки dA, определим интенсивность внутренних сил, то есть напряжение р в точках элементарной площадки dA:

Рис. 1.5

Таким образом, напряжение есть внутренняя сила, отнесенная к единице площади сечения. Напряжение есть величина векторная. Единица напряжения:

Поскольку эта единица напряжения очень мала, то мы будем применять более крупную кратную единицу, а именно мегапаскаль (МПа): 1 МПа = 10 6 Па = 1 Н/мм 2 . Таким образом, числовые значения напряжения, выраженного в МПа и Н/мм 2 , совпадают.

Разложим вектор напряжения р на две составляющие: о - перпендикулярную плоскости сечения и т - лежащую в плоскости сечения (рис. 1.5). Эти составляющие назовем соответственно нормальным (а) и касательным (т) напряжением.

Так как угол между нормальным и касательным напряжениями всегда равен 90°, то модуль полного напряженияр определится по формуле

Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет вполне определенный физический смысл. Как мы убедимся в дальнейшем, в поперечном сечении бруса при растяжении, сжатии и чистом изгибе действуют только нормальные напряжения, а при сдвиге и кручении - только касательные напряжения.

В заключение настоящей главы рассмотрим гипотезу, которая носит название принцип независимости действия сил и формулируется так: при действии на тело нескольких нагрузок внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации в любом месте могут быть определены как сумма этих величин, найденных от каждой нагрузки в отдельности.

Пользуясь принципом независимости действия сил, мы, начав с изучения простейших основных деформаций, когда в поперечных сечениях бруса действуют только нормальные или только касательные напряжения, в дальнейшем перейдем к изучению более сложных основных деформаций, когда в поперечном сечении действуют и те и другие напряжения, а затем рассмотрим случаи сочетания основных деформаций, что иногда называют сложным сопротивлением.

Заметим, что принцип независимости действия сил применим только для конструкций, деформации которых малы по сравнению с размерами и пропорциональны действующим нагрузкам.